Die reine Stimmung ist aus den Positionen entstanden, an denen auf der Saite eines Monochords Töne erzeugt werden. Ein Monochord ist ein einsaitiges Zupfinstrument, das der griechische Gelehrte Pythagoras im 6. Jahrhundert vor Christus für seine Experimente zur Definition der Konsonanz nutzt.

Pythagoras positioniert auf der Hälfte der Saitenlänge einen Finger und zupft die andere Hälfte. Dadurch erzeugt er einen Ton mit der nächst höheren Oktave im Vergleich zur leeren gezupften Saite. Mathematisch betrachtet wird die Saitenlänge in zwei Teile geteilt, von denen einer „abgegriffen“ wird. Die Saitenlängen der abgegriffenen zur leeren Saite stehen im Verhältnis von 1:2.

Andere konsonante Töne lassen sich auf die gleiche Weise erzeugen: Die Quinte teilt die Saite in drei Teile, von denen zwei abgegriffen werden. Bei der Quarte - wie die Quinte ebenfalls durch Pythagoras entdeckt - ist das Teilungsverhältnis 3:4. Bei Sekunden, Terzen etc. gibt es ebenfalls Teilungsverhältnisse, die vermutlich aus der Zeit nach Pythagoras stammen.

Die reine Stimmung entspricht einer Anzahl von unterschiedlichen Teilungsverhältnissen einer Saite. Die Teilungsverhältnisse definieren jedoch nicht nur die abgegriffenen Saitenlängen, sondern auch die Frequenzverhältnisse der Tonintervalle. Ein Ton der nächst höheren Oktave hat ein Verhältnis von 2:1 zur tieferen Oktave: ein Tonintervall mit der doppelten Frequenz.

Die Verhältnisangaben lassen sich auf der Gitarre durch die Flageoletttöne überprüfen: Wird der Finger auf den 7. Bundsteg der A-Saite gelegt, erzeugt die gezupfte Saite denselben Ton wie die hohe E-Saite: also ein e. Das e ist die Quinte von a - allerdings mit dem Tonintervall von 1 Oktave plus 1 Quinte. Das Teilungsverhältnis der Saitenlänge von 2:3 (abgegriffene/gesamte Saitenlänge) lässt sich mit einem Zentimetermaß überprüfen. Das Teilungsverhältnis der Frequenzen von 2:3 lässt sich rechnerisch überprüfen: die leere A-Saite schwingt mit 110 Hz. Die nächst höhere Quinte hat demnach eine Frequenz von 110 · (3/2) = 165 Hz. Tatsächlich liegt die Quinte aber in dem nächst höheren Oktavenraum, also bei 2 · 110 · (3/2) = 330 Hz. Mathematisch betrachtet ist das ein signifikanter Unterschied, der im Sprachgebrauch der Musiker ignoriert wird: demnach ist eine Quinte eine Quinte, weil sie den gleichen Tonnamen trägt - unabhängig von dem Oktavenraum. Ein Blick in die Tabelle 2 mit der reinen Stimmung bestätigt die Frequenzen.

Die Teilungsverhältnisse der reinen Stimmung führen in einem mehrere Oktaven umfassenden Tonraum zu einem Widerspruch, der als Pythagoreisches Komma bezeichnet wird. Deswegen sind Gitarren und Tasteninstrumente nicht rein, sondern gleichstufig gestimmt. Daraus folgt bei sehr genauer Betrachtung, dass die E-Saite wegen der gleichstufigen Stimmung bei exakt 329,63 Hz liegt.

Werden die Tonintervalle der Halb- und Ganztöne der reinen Stimmung betrachtet, dann ergeben sich mit einem c als Ausgangston für die C-Dur-Tonleiter folgende Tonintervalle mit den Verhältnissen:

• c:d = 8:9
• d:e = 9:10
• e:f = 15:16
• f:g = 8:9
• g:a = 9:10
• a:b = 8:9
• b:c = 15:16

Die Verhältnisse lassen sich anhand der Frequenzen in Tabelle 2 überprüfen. Als Prime kann ein beliebiges c dienen, z.B. das c mit 66 Hz:

• c:d = 66:74,25 = 8:9 → 1,125
• d:e = 74,25:82,50 = 9:10 → 1,11
• e:f = 82,50:88,00 = 15:16 → 1,06
• f:g = 88,00:99,00 = 8:9 → 1,125
• g:a = 99,00:110,00 = 9:10 → 1,11
• a:b = 110,00:123,75 = 8:9 → 1,125
• b:c = 123,75:132,00 = 15:16 → 1,06

Bei den Verhältnisangaben wie bei c:d = 66:74,25 = 8:9 werden die Frequenzen der Töne gegenübergestellt. Der Zahlenwert von 1,125 ergibt sich aus dem Quotienten 74,25:66 = 9/8 = 1,125. Anders ausgedrückt ist der Ton d um den Faktor 1,125 höher als der Ton c!

Die Tonleiter enthält einen Halbton mit dem Verhältnis 15:16 → 1,06 und zwei verschiedene Ganztöne, den:

• Ganzton mit 9:10 → 1,11
• Ganzton mit 8:9 → 1,125

Alle Tonintervalle können aus Kombinationen von Halb- und Ganztönen zusammengesetzt werden. Daraus folgt für die beiden Terzen:

• kleine Terz = (8:9) · (15:16) = 120:144 = 5:6 → 1,2
• große Terz = (9:10) · (8:9) = 72:90 = 4:5 → 1,25

Auch die Quarte und Quinte können aus Halb- und Ganztönen errechnet werden:

• Quarte = (9:10) · (8:9) · (15:16) = 1080:1440 = 3:4 → 1,33
• Quinte = (9:10) · (8:9) · (15:16) · (8:9) = 8640:12960 = 2:3 → 1,5

Werden die Tonintervalle der 12 Halbtöne in einer Oktave auf den Grundton bezogen, ergeben sich folgende Werte:

Tabelle 1: Tonintervalle - bezogen auf den Grundton.

Damit ergibt sich folgendes Frequenzverhältnis für die reine Stimmung in c mit dem Kammerton a von 440 Hz als Bezugspunkt:

Tabelle 2: Reine Stimmung durch Oktavenschichtung für c.

Aus der Frequenztabelle folgen zwei weitere Verhältnisse für Halbtöne:

• c^#:d = 128:135
• d^#:e = 24:25

Damit gibt es 2 Ganzton- und drei Halbtonverhältnisse, die sich auf die anderen Tonintervalle auswirken. Interessant ist die Quinte d:a, weil sie nicht nur in der Frequenztabelle (und somit in der chromatischen Tonleiter) existiert, sondern auch in der Tonart C-Dur:

• d:a = 27:40 → 1,481

Jede Dur-Tonart hat zwei Quinten mit unterschiedlichem Frequenzverhältnis. In C-Dur gibt es die reine Quinte c:g mit dem Verhältnis 2:3 und die nicht reine Quinte d:a mit dem Verhältnis 27:40.

Die Teilungsverhältnisse:

• Oktave 1:2
• Quinte 2:3
• Quarte 3:4
• große Sexte 3:5
• große Terz 4:5
• kleine Terz 5:6
• kleine Sexte 5:8
• kleine Septime 5:9
• großer Ganzton 8:9
• große Septime 8:15
• kleiner Ganzton 9:10
• kleine Sekunde 15:16

Bei dem kleinen und dem großen Ganzton handelt es sich in beiden Fällen um eine große Sekunde! Mit Ausname des kleinen Ganztons können alle Tonintervalle von dem Grundton gebildet werden. Die Tonintervalle werden am Beispiel der Oktave von 16,5:33 Hz aus der reinen Stimmung in c dargestellt:

Tabelle 3: Die Oktave ab 16,5 Hz der reinen Stimmung in c.

Die Frequenzverhältnisse werden anhand der Tabelle 3 überprüft:

Tabelle 4: Die Frequenzverhältnisse für Soll und Ist.

Die Tabelle 2 basiert auf einer Oktavenschichtung für c. Die nächst höhere Oktave hat die doppelte Frequenz wie die tiefer liegende. Die Oktave ist jeweils der „Ausgangspunkt“, um den nächsten Tonraum (hier identisch mit dem Oktavenraum) zu betrachten. Das ist eine logische Konsequenz, aber nicht die einzige. Nach Pythagoras ist ebenfalls eine Quintenschichtung möglich.

Seine Quintenschichtung hat einen Nachteil: werden so viele Quinten aufeinander geschichtet, das wieder der Ausgangston entsteht, dann ist die Frequenz abweichend von der Frequenz einer entsprechenden Schichtung von Oktaven. Diese Abweichung wird als Pythagoreisches Komma bezeichnet, deren Korrektur letztlich zur gleichstufigen Stimmung führt.

Die reine Stimmung hat noch einen weiteren Nachteil: sie passt nur für eine Tonart. In Tabelle 5 ist die reine Stimmung für a auf der Basis der Oktavenschichtung abgebildet. Ein Vergleich der Frequenzen mit der reinen Stimmung in c in Tabelle 2 zeigt das Problem: die Frequenzen einzelner Töne stimmen nicht überein.

Frequenzverhältnis für die reine Stimmung in a - bezogen auf den Kammerton a mit 440 Hz:

Tabelle 5: Reine Stimmung durch Oktavenschichtung für a.

Anders ausgedrückt ist die Tonhöhe abhängig von der Tonart. Diese Tatsache folgt auch aus der Betrachtung gleicher Quinten in verschiedenen Tonarten. In C-Dur hat die Quinte c:g ein Verhältnis von 2:3, die Quinte d:a ein Verhältnis von 27:40. In D-Dur hat die Quinte d:a (hier ist d die Tonika) aber ein Verhältnis von 2:3.

In der Musikliteratur ist häufig zu lesen, dass die reine Stimmung aus den Tonintervallen der Teiltonreihe abgeleitet werden kann. Das stimmt nur teilweise: einzelne Frequenzen der Obertöne sind deckungsgleich mit der reinen Stimmung, andere nicht. Interessant ist auch ein anderer Widerspruch: die Teiltonreihe dient ebenfalls zur Erklärung von Konsonanzen. In der Teiltonreihe ist jedoch ein Oberton enthalten, der als Tritonus bezeichnet wird und als Dissonanz gilt!

Bereich: Musiktheorie